1. 서론

지금 당장 구글에 세상에서 가장 아름다운 수식을 검색해보면

오일러 공식이 가장 아름다운 수식이라 주장합니다. 믿을 수 없습니다. ChatGPT에게도 물어볼까요?

어라, 이 놈도 오일러의 공식을 아름다운 수식으로 뽑네요. 사실 이 수식은 공식이라기보다 등식이라 보는 것이 적합합니다.

그렇다면 갑자기 궁금해집니다. 이 등식이 왜 아름다운 수식인지, 이 수식이 어떻게 나오는지 이해해보겠습니다.

 

 

 

2. 선수학습 요소

① 삼각함수, 지수함수(특히, 자연상수 e)에 대한 이해

② 급수가 무엇인지에 대한 이해

③ 허수단위 i

 

위의 내용을 모르시는 분들은 (4. 오일러의 공식) 마지막 부분의 결과만 받아들이고 뒤로 넘어가셔도 됩니다!

 

 

3. 테일러 급수(Taylor Series)

위 수식을 이해하기 위해서는 여러가지 방법이 있지만 이 글에서는 테일러 급수라는 것을 이용해보려 합니다.

 

우리가 고등학교에 이르기까지 배운 함수는 일차,이차함수 등의 다항함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등이 있습니다.

(공식적 교육과정에 포함되지 않은 가우스 함수([x]) 같은 함수들은 포함하지 않고요.)

 

배워보신 분들은 알 겁니다. 지수,로그,삼각함수 등의 초월함수들을 다루는 것보다 다항함수를 다루는 것이 훨씬 편하다는 사실을요.

여기서 수학자들이 생각합니다. 초월함수들을 다항함수 꼴로 나타낼 수는 없을까? 나타낼 수 없다면 다항함수에 근사시킬 수 있을까?

그에 대한 해답이 바로 테일러 급수입니다.

 

테일러 급수에 대한 설명을 하려면 사실 테일러 정리, 나머지항, 수렴구간 등의 이야기를 해야하지만 어렵고 재미 없으니 패스하고,

테일러 급수를 생각하게 된 경위만 설명하겠습니다.

 

예를 들어, 를 다항함수의 합으로 나타낼 수 있다면 어떻게 될까요? 다음처럼 말이죠.

이므로 양변에 x=0을 대입하여 을 얻습니다.

 

 

양변을 한 번 미분해보겠습니다.

양변에 x=0을 대입하여 을 얻습니다.

 

 

양변을 다시 한 번 미분해보겠습니다.

양변에 x=0을 대입하면 이므로 임을 알 수 있습니다.


한 번만 다시 미분해보겠습니다.

양변에 x=0을 대입하면 이므로 임을 알 수 있습니다.

 

 

슬슬 규칙성이 보이기 시작합니다. 마지막 식에서 (n-3)번 미분하면 어떻게 될까요?

좌변은 그대로 이겠구요, 우변은 이 될겁니다.

우변의 식이 복잡한 건 상관 없습니다. 중요한건 양변에 x=0을 대입하면 이 되므로

라는 사실이죠.

 

 

그런데, 처럼 나열되어 있으니 보기 불편합니다. 우리는 배운 것이 있죠.

이라 정의하고, n 팩토리얼이라 부르기로 합니다. 또, 이라 정의합니다.

 

 

그러면

을 얻습니다. 따라서 우리가 구하려고 했던 는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

이를 x=0에서의 테일러 급수, 특히 이는 x=0을 중심으로 했기 때문에 매클로린 급수라고 부릅니다.

 

 

마찬가지 방법으로 sinx와 cosx의 x=0에서 테일러 급수를 얻을 수 있습니다. 이는 심심하면 직접 해보시길 권유드립니다.

 

4. 오일러의 공식

위에서 얻은 식

의 양변에 x대신 ix를 대입해보겠습니다. 그러면 다음을 얻습니다.

임을 이용하여 가 붙어있는 항끼리 묶어 정리하면,

입니다.

 

위에서 sinx와 cosx의 테일러급수가

라고 했고, 이므로 대입하여 정리하면

 

임을 확인할 수 있습니다! 이를 오일러의 공식(Euler's Formula)라고 합니다.

 

드디어 우리는 오일러의 등식을 증명할 모든 준비가 끝났습니다.

 

 

(결과 : 오일러의 공식은 이다.)

 

 

 

 

5. 오일러의 등식

의 양변에 를 대입하면 이므로 입니다.

양변에 1을 더하면 이라는 오일러의 등식을 얻을 수 있습니다.

 

제가 어느 대학교 면접에 갔을 때, 앞의 학생이 수학이 아름답다라고 정의 했는데 견해를 밝혀보라는 면접 질문을 받았습니다.

그에 대한 생각은 당연히 한 번도 해보지 않았기에 어버버하고 떨어진 기억이 있는데, 대학교에서 저 등식을 알게 되면서 아쉬웠던 기억이 있습니다. 저 등식을 조금 더 빨리 알았더라면 이야기를 할 수 있지 않았을까..

정말 신기하고 아름답지 않나요? 어떻게 아다리가 잘 맞아서 자연상수 , 원주율 , 허수단위 , 곱셈에 관한 항등원 1, 덧셈에 관한 항등원 0이 적절하게 결합하여 하나의 수식을 만들어낸다는게 말이죠.

 

 

 

6. 오일러의 공식의 활용

라는 오일러의 공식은 여러 신기한 결과들을 이끌어냅니다.

 

① 양변에 를 대입하면 임을 얻을 수 있습니다. 양변에 i제곱을 해봅시다.

이므로 가 됩니다. 허수 i의 i제곱은 허수가 아닌 실수로 나오게 됩니다.

 

 

② 이번엔 의 양변에 루트를 씌워봅시다. 루트를 씌우는 것은 양변에 1/2 제곱하는 것과 같으므로,
을 얻을 수 있습니다. 의 양변에 을 대입하면 이므로

입니다.

실제로 우변을 제곱해보면 i가 나옵니다.

 

 

 

 

7. 세 줄 요약

① 오일러의 등식 은 e, i, 원주율, 덧셈항등원 0,곱셈항등원 1이 아다리가 잘 맞아서 만들어진 결과물이므로 아름답다.

② 이건 을 유도해서 증명하는데 과정이 굉장히 복잡하다.(사실은 알면 안복잡하다.)

③ 이걸로 신기한 결과들을 얻을 수 있다. (i의 i제곱은 이고, 루트 i는 이다.)

 

 

 

 

지금까지 오일러의 등식에 대해 알아보았습니다. 감사합니다.