수학적 귀납법은 자연수 n에 대한 명제 p(n)이 모든 자연수에서 성립한다는 것을 증명하는 유용한 방법입니다.

고등학교를 졸업한 사람이라면 보통 고등학교 2학년 1학기에 학습하게 됩니다.

 

다음은 수학적 귀납법을 이용하여 '모든 사람의 생일은 같다' 임을 증명하는 과정입니다.

 

고민해보시고 증명이 어디에서 잘못되었는지 댓글을 달아보면 재밌는 시간이 될 것 같습니다.

 

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명제 p(n) : n 이 자연수일 때, n 명의 생일은 모두 같다.

 

증명과정

 

(1) n=1 일 때 한 명의 생일은 당연히 같으므로 주어진 명제는 참이다.

 

(2) n=k 일 때 명제 p(n) 이 참이라 가정하면 k 명의 생일은 모두 같다.

이때, n=k+1 일 때에도 명제 p(n) 이 참임을 보이자.

 

(k+1) 명의 사람을 각각 A₁, A₂, A₃, ...., A_k+1 라 하자.

 

k 명의 생일은 모두 같으므로 A₁, A₂, A₃, ...., A_k 의 생일은 모두 같다.

 

마찬가지로 A₂, A₃, ...., A_k 의 생일도 모두 같다.

 

즉, A₁, A₂, A₃, ...., A_k+1 의 생일은 모두 같으므로

 

n=k+1 일 때에도 명제 p(n) 은 참이다.

 

그러므로 (1), (2) 에 따라 모든 자연수 n 에서 명제 p(n) 은 참이므로 모든 사람의 생일은 같다.

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여러분들의 아이디어 넘치는 댓글이 궁금합니다